NF II, WS 1997/98: Lösungsblatt 5

Aufgabe 1

Das folgende ist ein Beispiel der Multiplikation von 57 mit 6159:
57 mal 6159 ist 351063
      Normal: 351063
         
  57 6159 57  
  114 3079 114  
  228 1539 228  
  456 769 456  
  912 384 0  
  1824 192 0  
  3648 96 0  
  7296 48 0  
  14592 24 0  
  29184 12 0  
  58368 6 0  
  116736 3 116736  
  233472 1 233472  
  466944 0 0  
  933888 0 0  
  1867776 0 0  
  3735552 0 0  

Das zugehörige Kalkulationsblatt sieht folgendermaßen aus:

57 mal 6159 ist =SUMME(D4:D20)
      Normal =A1*C1
         
  =A1 =C1 =WENN(2*C5=C4;0;B4)  
  =B4*2 =WENN(C4=1;0;GANZZAHL(C4/2)) =WENN(2*C6=C5;0;B5)  
  =B5*2 =WENN(C5=1;0;GANZZAHL(C5/2)) =WENN(2*C7=C6;0;B6)  
  =B6*2 =WENN(C6=1;0;GANZZAHL(C6/2)) =WENN(2*C8=C7;0;B7)  
  =B7*2 =WENN(C7=1;0;GANZZAHL(C7/2)) =WENN(2*C9=C8;0;B8)  
  =B8*2 =WENN(C8=1;0;GANZZAHL(C8/2)) =WENN(2*C10=C9;0;B9)  
  =B9*2 =WENN(C9=1;0;GANZZAHL(C9/2)) =WENN(2*C11=C10;0;B10)  
  =B10*2 =WENN(C10=1;0;GANZZAHL(C10/2)) =WENN(2*C12=C11;0;B11)  
  =B11*2 =WENN(C11=1;0;GANZZAHL(C11/2)) =WENN(2*C13=C12;0;B12)  
  =B12*2 =WENN(C12=1;0;GANZZAHL(C12/2)) =WENN(2*C14=C13;0;B13)  
  =B13*2 =WENN(C13=1;0;GANZZAHL(C13/2)) =WENN(2*C15=C14;0;B14)  
  =B14*2 =WENN(C14=1;0;GANZZAHL(C14/2)) =WENN(2*C16=C15;0;B15)  
  =B15*2 =WENN(C15=1;0;GANZZAHL(C15/2)) =WENN(2*C17=C16;0;B16)  
  =B16*2 =WENN(C16=1;0;GANZZAHL(C16/2)) =WENN(2*C18=C17;0;B17)  
  =B17*2 =WENN(C17=1;0;GANZZAHL(C17/2)) =WENN(2*C19=C18;0;B18)  
  =B18*2 =WENN(C18=1;0;GANZZAHL(C18/2)) =WENN(2*C20=C19;0;B19)  
  =B19*2 =WENN(C19=1;0;GANZZAHL(C19/2)) =WENN(2*C21=C20;0;B20)  

Der Beweis ist ein Beispiel für das, was man Induktionsbeweis nennt. Das liegt natürlich an der besonderen Form der Definition der Multiplikation, die ein Rückführen auf den einfachen Fall nahelegt.

Seien a und b zwei miteinander zu multiplizierende, positive Zahlen.

Induktionsanfang: Sei b=1. Dann ist das Ergebnis der Multiplikation a (a * 1 = a)

Induktionsschritt. Sei b<>1. Dann ist b entweder gerade oder ungerade. Falls b gerade ist, gilt

a * b = a * b / 2 * 2 = (2 * a) * (b / 2) = (a + a) * (b / 2)

, wobei hier die ganzzahlige Division gemeint ist. Die Multiplikation von a mit 2 erledigen wir direkt (a+a), die übrigbleibende Multiplikation wird wieder mit der Bauernmethode durchgeführt.

Falls b nun ungerade ist, so gilt

a * b = a * (b / 2 * 2) + a = (2 * a) * (b / 2) + a = (a + a) * (b / 2) + a

, wiederum mit ganzzahliger Division. Man sieht, daß die ursprüngliche linke Zahl (a) gemerkt werden und hinterher aufaddiert werden muß.

Was die maximale Zahl angeht, mit der man multiplizieren kann, so kann mas sich überlegen, daß man die rechte Zahl vollständig bis auf 1 runterdividieren muß. und dann wieder per Induktion: In der ersten Zeile (jetzt von unten gesehen) muß eine 1 stehen.
In der zweiten Zeile kann maximal eine 3 stehen (1 * 2 + 1).
In der n-ten Zeile von unten kann maximal die Zahl 2^n - 1 stehen.

Aufgabe 2

Eingabe: jan amtrup                            
Ausgabe: aajmnprtu                            
  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 jan amtrup aj amnrtp u a ajmnrp tu aajmnp rtu aajmn prtu aajm nprtu aaj mnprtu aa jmnprtu a ajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu
2 ajn amtrup aj amnrtp u aajmnrp tu aajmnp rtu aajmn prtu aajm nprtu aaj mnprtu aa jmnprtu a ajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu
3 ajn amtrup a jamnrtp u aajmnrp tu aajmnp rtu aajmn prtu aajm nprtu aaj mnprtu aa jmnprtu a ajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu
4 aj namtrup a ajmnrtp u aajmnrp tu aajmnp rtu aajmn prtu aajm nprtu aaj mnprtu a a jmnprtu a ajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu
5 aj anmtrup a ajmnrtp u aajmnrp tu aajmnp rtu aajmn prtu aajm nprtu aa j mnprtu a a jmnprtu a ajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu
6 aj amntrup a ajmnrtp u aajmnrp tu aajmnp rtu aajmn prtu aaj m nprtu aa j mnprtu a a jmnprtu a ajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu
7 aj amntrup a ajmnrtp u aajmnrp tu aajmnp rtu aajm n prtu aaj m nprtu aa j mnprtu a a jmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu
8 aj amnrtup a ajmnrtp u aajmnpr tu aajmn p rtu aajm n prtu aaj m nprtu aa j mnprtu a ajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu
9 aj amnrtup a ajmnrpt u aajmnp r tu aajmn p rtu aajm n prtu aaj m nprtu aa jmnprtu a ajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu
10 aj amnrtpu a ajmnrp t u aajmnp r tu aajmn p rtu aajm n prtu aaj mnprtu aa jmnprtu a ajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu
11 aj amnrtp u a ajmnrp t u aajmnp r tu aajmn p rtu aajm nprtu aaj mnprtu aa jmnprtu a ajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu
12 aj amnrtp u a ajmnrp t u aajmnp r tu aajmn prtu aajm nprtu aaj mnprtu aa jmnprtu a ajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu
13 aj amnrtp u a ajmnrp t u aajmnp rtu aajmn prtu aajm nprtu aaj mnprtu aa jmnprtu a ajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu
14 aj amnrtp u a ajmnrp tu aajmnp rtu aajmn prtu aajm nprtu aaj mnprtu aa jmnprtu a ajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu
15 aj amnrtp u a ajmnrp tu aajmnp rtu aajmn prtu aajm nprtu aaj mnprtu aa jmnprtu a ajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu aajmnprtu

Ein kleiner Teil der Tabelle in Formelform folgt:
Eingabe: jan amtrup                            
Ausgabe: =P18                            
  1 =B3+1 =C3+1 =D3+1 =E3+1 =F3+1 =G3+1 =H3+1 =I3+1 =J3+1 =K3+1 =L3+1 =M3+1 =N3+1 =O3+1
1 =" "&B1 =B18 =C18 =D18 =E18 =F18 =G18 =H18 =I18 =J18 =K18 =L18 =M18 =N18 =O18
=A4+1 =TEIL(B4;1;$A5-1)&WENN(TEIL(B4;$A5;1)>TEIL(B4;$A5+1;1);TEIL(B4;$A5+1;1)&TEIL(B4;$A5;1);TEIL(B4;$A5;2))& ;TEIL(B4;$A5+2;15-$A5) =TEIL(C4;1;$A5-1)& WENN(TEIL(C4;$A5;1)>TEIL(C4;$A5+1;1); TEIL(C4;$A5+1;1)& TEIL(C4;$A5;1); TEIL(C4;$A5;2)) & TEIL(C4;$A5+2;15-$A5) =TEIL(D4;1;$A5-1)&WENN(TEIL(D4;$A5;1)>TEIL(D4;$A5+1;1);TEIL(D4;$A5+1;1)&TEIL(D4;$A5;1);TEIL(D4;$A5;2))& ;TEIL(D4;$A5+2;15-$A5) =TEIL(E4;1;$A5-1)&WENN(TEIL(E4;$A5;1)>TEIL(E4;$A5+1;1);TEIL(E4;$A5+1;1)&TEIL(E4;$A5;1);TEIL(E4;$A5;2))& ;TEIL(E4;$A5+2;15-$A5) =TEIL(F4;1;$A5-1)&WENN(TEIL(F4;$A5;1)>TEIL(F4;$A5+1;1);TEIL(F4;$A5+1;1)&TEIL(F4;$A5;1);TEIL(F4;$A5;2))& ;TEIL(F4;$A5+2;15-$A5) =TEIL(G4;1;$A5-1)&WENN(TEIL(G4;$A5;1)>TEIL(G4;$A5+1;1);TEIL(G4;$A5+1;1)&TEIL(G4;$A5;1);TEIL(G4;$A5;2))& ;TEIL(G4;$A5+2;15-$A5) =TEIL(H4;1;$A5-1)&WENN(TEIL(H4;$A5;1)>TEIL(H4;$A5+1;1);TEIL(H4;$A5+1;1)&TEIL(H4;$A5;1);TEIL(H4;$A5;2))& ;TEIL(H4;$A5+2;15-$A5) =TEIL(I4;1;$A5-1)&WENN(TEIL(I4;$A5;1)>TEIL(I4;$A5+1;1);TEIL(I4;$A5+1;1)&TEIL(I4;$A5;1);TEIL(I4;$A5;2))& ;TEIL(I4;$A5+2;15-$A5) =TEIL(J4;1;$A5-1)&WENN(TEIL(J4;$A5;1)>TEIL(J4;$A5+1;1);TEIL(J4;$A5+1;1)&TEIL(J4;$A5;1);TEIL(J4;$A5;2))& ;TEIL(J4;$A5+2;15-$A5) =TEIL(K4;1;$A5-1)&WENN(TEIL(K4;$A5;1)>TEIL(K4;$A5+1;1);TEIL(K4;$A5+1;1)&TEIL(K4;$A5;1);TEIL(K4;$A5;2))& ;TEIL(K4;$A5+2;15-$A5) =TEIL(L4;1;$A5-1)&WENN(TEIL(L4;$A5;1)>TEIL(L4;$A5+1;1);TEIL(L4;$A5+1;1)&TEIL(L4;$A5;1);TEIL(L4;$A5;2))& ;TEIL(L4;$A5+2;15-$A5) =TEIL(M4;1;$A5-1)&WENN(TEIL(M4;$A5;1)>TEIL(M4;$A5+1;1);TEIL(M4;$A5+1;1)&TEIL(M4;$A5;1);TEIL(M4;$A5;2))& ;TEIL(M4;$A5+2;15-$A5) =TEIL(N4;1;$A5-1)&WENN(TEIL(N4;$A5;1)>TEIL(N4;$A5+1;1);TEIL(N4;$A5+1;1)&TEIL(N4;$A5;1);TEIL(N4;$A5;2))& ;TEIL(N4;$A5+2;15-$A5) =TEIL(O4;1;$A5-1)&WENN(TEIL(O4;$A5;1)>TEIL(O4;$A5+1;1);TEIL(O4;$A5+1;1)&TEIL(O4;$A5;1);TEIL(O4;$A5;2))& ;TEIL(O4;$A5+2;15-$A5) =TEIL(P4;1;$A5-1)&WENN(TEIL(P4;$A5;1)>TEIL(P4;$A5+1;1);TEIL(P4;$A5+1;1)&TEIL(P4;$A5;1);TEIL(P4;$A5;2))& ;TEIL(P4;$A5+2;15-$A5)
=A5+1 =TEIL(B5;1;$A6-1)&WENN(TEIL(B5;$A6;1)>TEIL(B5;$A6+1;1);TEIL(B5;$A6+1;1)&TEIL(B5;$A6;1);TEIL(B5;$A6;2))& ;TEIL(B5;$A6+2;15-$A6) =TEIL(C5;1;$A6-1)&WENN(TEIL(C5;$A6;1)>TEIL(C5;$A6+1;1);TEIL(C5;$A6+1;1)&TEIL(C5;$A6;1);TEIL(C5;$A6;2))& ;TEIL(C5;$A6+2;15-$A6) =TEIL(D5;1;$A6-1)&WENN(TEIL(D5;$A6;1)>TEIL(D5;$A6+1;1);TEIL(D5;$A6+1;1)&TEIL(D5;$A6;1);TEIL(D5;$A6;2))& ;TEIL(D5;$A6+2;15-$A6) =TEIL(E5;1;$A6-1)&WENN(TEIL(E5;$A6;1)>TEIL(E5;$A6+1;1);TEIL(E5;$A6+1;1)&TEIL(E5;$A6;1);TEIL(E5;$A6;2))& ;TEIL(E5;$A6+2;15-$A6) =TEIL(F5;1;$A6-1)&WENN(TEIL(F5;$A6;1)>TEIL(F5;$A6+1;1);TEIL(F5;$A6+1;1)&TEIL(F5;$A6;1);TEIL(F5;$A6;2))& ;TEIL(F5;$A6+2;15-$A6) =TEIL(G5;1;$A6-1)&WENN(TEIL(G5;$A6;1)>TEIL(G5;$A6+1;1);TEIL(G5;$A6+1;1)&TEIL(G5;$A6;1);TEIL(G5;$A6;2))& ;TEIL(G5;$A6+2;15-$A6) =TEIL(H5;1;$A6-1)&WENN(TEIL(H5;$A6;1)>TEIL(H5;$A6+1;1);TEIL(H5;$A6+1;1)&TEIL(H5;$A6;1);TEIL(H5;$A6;2))& ;TEIL(H5;$A6+2;15-$A6) =TEIL(I5;1;$A6-1)&WENN(TEIL(I5;$A6;1)>TEIL(I5;$A6+1;1);TEIL(I5;$A6+1;1)&TEIL(I5;$A6;1);TEIL(I5;$A6;2))& ;TEIL(I5;$A6+2;15-$A6) =TEIL(J5;1;$A6-1)&WENN(TEIL(J5;$A6;1)>TEIL(J5;$A6+1;1);TEIL(J5;$A6+1;1)&TEIL(J5;$A6;1);TEIL(J5;$A6;2))& ;TEIL(J5;$A6+2;15-$A6) =TEIL(K5;1;$A6-1)&WENN(TEIL(K5;$A6;1)>TEIL(K5;$A6+1;1);TEIL(K5;$A6+1;1)&TEIL(K5;$A6;1);TEIL(K5;$A6;2))& ;TEIL(K5;$A6+2;15-$A6) =TEIL(L5;1;$A6-1)&WENN(TEIL(L5;$A6;1)>TEIL(L5;$A6+1;1);TEIL(L5;$A6+1;1)&TEIL(L5;$A6;1);TEIL(L5;$A6;2))& ;TEIL(L5;$A6+2;15-$A6) =TEIL(M5;1;$A6-1)&WENN(TEIL(M5;$A6;1)>TEIL(M5;$A6+1;1);TEIL(M5;$A6+1;1)&TEIL(M5;$A6;1);TEIL(M5;$A6;2))& ;TEIL(M5;$A6+2;15-$A6) =TEIL(N5;1;$A6-1)&WENN(TEIL(N5;$A6;1)>TEIL(N5;$A6+1;1);TEIL(N5;$A6+1;1)&TEIL(N5;$A6;1);TEIL(N5;$A6;2))& ;TEIL(N5;$A6+2;15-$A6) =TEIL(O5;1;$A6-1)&WENN(TEIL(O5;$A6;1)>TEIL(O5;$A6+1;1);TEIL(O5;$A6+1;1)&TEIL(O5;$A6;1);TEIL(O5;$A6;2))& ;TEIL(O5;$A6+2;15-$A6) =TEIL(P5;1;$A6-1)&WENN(TEIL(P5;$A6;1)>TEIL(P5;$A6+1;1);TEIL(P5;$A6+1;1)&TEIL(P5;$A6;1);TEIL(P5;$A6;2))& ;TEIL(P5;$A6+2;15-$A6)
=A16+1 =TEIL(B16;1;$A17-1)&WENN(TEIL(B16;$A17;1)>TEIL(B16;$A17+1;1);TEIL(B16;$A17+1;1)&TEIL(B16;$A17;1);TEIL(B16; $A17;2))&TEIL(B16;$A17+2;15-$A17) =TEIL(C16;1;$A17-1)&WENN(TEIL(C16;$A17;1)>TEIL(C16;$A17+1;1);TEIL(C16;$A17+1;1)&TEIL(C16;$A17;1);TEIL(C16; $A17;2))&TEIL(C16;$A17+2;15-$A17) =TEIL(D16;1;$A17-1)&WENN(TEIL(D16;$A17;1)>TEIL(D16;$A17+1;1);TEIL(D16;$A17+1;1)&TEIL(D16;$A17;1);TEIL(D16; $A17;2))&TEIL(D16;$A17+2;15-$A17) =TEIL(E16;1;$A17-1)&WENN(TEIL(E16;$A17;1)>TEIL(E16;$A17+1;1);TEIL(E16;$A17+1;1)&TEIL(E16;$A17;1);TEIL(E16; $A17;2))&TEIL(E16;$A17+2;15-$A17) =TEIL(F16;1;$A17-1)&WENN(TEIL(F16;$A17;1)>TEIL(F16;$A17+1;1);TEIL(F16;$A17+1;1)&TEIL(F16;$A17;1);TEIL(F16; $A17;2))&TEIL(F16;$A17+2;15-$A17) =TEIL(G16;1;$A17-1)&WENN(TEIL(G16;$A17;1)>TEIL(G16;$A17+1;1);TEIL(G16;$A17+1;1)&TEIL(G16;$A17;1);TEIL(G16; $A17;2))&TEIL(G16;$A17+2;15-$A17) =TEIL(H16;1;$A17-1)&WENN(TEIL(H16;$A17;1)>TEIL(H16;$A17+1;1);TEIL(H16;$A17+1;1)&TEIL(H16;$A17;1);TEIL(H16; $A17;2))&TEIL(H16;$A17+2;15-$A17) =TEIL(I16;1;$A17-1)&WENN(TEIL(I16;$A17;1)>TEIL(I16;$A17+1;1);TEIL(I16;$A17+1;1)&TEIL(I16;$A17;1);TEIL(I16; $A17;2))&TEIL(I16;$A17+2;15-$A17) =TEIL(J16;1;$A17-1)&WENN(TEIL(J16;$A17;1)>TEIL(J16;$A17+1;1);TEIL(J16;$A17+1;1)&TEIL(J16;$A17;1);TEIL(J16; $A17;2))&TEIL(J16;$A17+2;15-$A17) =TEIL(K16;1;$A17-1)&WENN(TEIL(K16;$A17;1)>TEIL(K16;$A17+1;1);TEIL(K16;$A17+1;1)&TEIL(K16;$A17;1);TEIL(K16; $A17;2))&TEIL(K16;$A17+2;15-$A17) =TEIL(L16;1;$A17-1)&WENN(TEIL(L16;$A17;1)>TEIL(L16;$A17+1;1);TEIL(L16;$A17+1;1)&TEIL(L16;$A17;1);TEIL(L16; $A17;2))&TEIL(L16;$A17+2;15-$A17) =TEIL(M16;1;$A17-1)&WENN(TEIL(M16;$A17;1)>TEIL(M16;$A17+1;1);TEIL(M16;$A17+1;1)&TEIL(M16;$A17;1);TEIL(M16; $A17;2))&TEIL(M16;$A17+2;15-$A17) =TEIL(N16;1;$A17-1)&WENN(TEIL(N16;$A17;1)>TEIL(N16;$A17+1;1);TEIL(N16;$A17+1;1)&TEIL(N16;$A17;1);TEIL(N16; $A17;2))&TEIL(N16;$A17+2;15-$A17) =TEIL(O16;1;$A17-1)&WENN(TEIL(O16;$A17;1)>TEIL(O16;$A17+1;1);TEIL(O16;$A17+1;1)&TEIL(O16;$A17;1);TEIL(O16; $A17;2))&TEIL(O16;$A17+2;15-$A17) =TEIL(P16;1;$A17-1)&WENN(TEIL(P16;$A17;1)>TEIL(P16;$A17+1;1);TEIL(P16;$A17+1;1)&TEIL(P16;$A17;1);TEIL(P16; $A17;2))&TEIL(P16;$A17+2;15-$A17)
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Die zentrale Formel lautet 

=TEIL(L16;1;$A17-1)&
WENN(TEIL(L16;$A17;1)>TEIL(L16;$A17+1;1);
  TEIL(L16;$A17+1;1)&TEIL(L16;$A17;1);
  TEIL(L16;$A17;2))&
TEIL(L16;$A17+2;15-$A17)

Author:Jan W. Amtrup
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