Lineare Algebra

Vorschlag Jantzen

Umfang: 4 SWS Vorlesung + 2 SWS Übung

Voraussetzungen: Diskrete Mathematik

Präambel:

Die Lineare Algebra behandelt (weitere) mathematische Aussagen über Strukturen, die tragend für die Informatik sind. Ihr Aufbau sollte Algorithmen und das Denken in Abläufen deutlicher berücksichtigen als die unverzichtbaren Anteile der analytischen Geometrie oder Anwendungen in der Physik. In jedem Falle sollten euklidische Vektorräume behandelt werden, während die Projektive Geometrie trotz ihrer zentralen Rolle in der Computergrafik genauso entfallen kann wie quadratische Formen, Jordansche Normalform oder Tensoren. Dem Lösen von Gleichungen (und Ungleichungen) mit Hinweis auf den rationalen und ganzzahligen Zahlenraum sollte genug Raum gegeben werden.

Lernziele:

• Es sollen Grundlagen gelegt werden für die spätere Anwendung nicht nur in der Informatik genutzter Konzepte.
• Es soll das Verständnis erzielt werden für die hinter Programmen und Algorithmen stehenden abstrakten Strukturen, um so einen erfolgreichen und schöpferischen Umgang mit den Notationen und Zusammenhängen zu ermöglichen.
• Formale Konzepte der Linearen Algebra sollen als fundamentale und nützliche Begriffe verstanden werden.

Lehrinhalte:

• Translationen, Länge und Richtung von Vektoren, Winkel, Geraden, Ebenen und Hyperebenen, Parallelität, Vektor- und Spatprodukt
• Körper, Ringe, Vektorräume, Linearkombination, Erzeugende, Hüllenbildung, lineare Abhängigkeit, Basen, Dimension, Unterraum
• Skalarprodukt, Orthogonalität, euklidische Norm, euklidischer Vektorraum, Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
• Lineare Abbildungen und Matrizen, Darstellungsmatrix, Matrizenkalkül, Invertierbarkeit, Basiswechsel, Dualraum
• Lineare Gleichungssysteme und Ungleichungssysteme, Homogene- und Inhomogene Gleichungssysteme, Rang einer Matrix, Zeilenrang, Spaltenrang, Lösbarkeitskriterien, Struktur der Lösungsmengen (affine Räume, konvexe Polyeder), Eliminationsverfahren, Gauss-Algorithmus,
• Dualitätsprinzip der linearen Programmierung, Lösungsverfahren bei reellen, rationalen, ganzzahligen und natürlichen Zahlenräumen,
• Determinanten, Eigenwerte und -vektoren von Matrizen, charakteristisches Polynom, Normalformen von Matrizen, Dreiecksmatrix, Diagonalisierung

Literatur:

G. Fischer: Lineare Algebra, Vieweg (2002)

H. Grauert/h.-Ch. Grunau: Lineare Algebra und Analytische Geometrie, Oldenbourg (1999)

K. Jänich: Lineare Algebra, Springer (1994)

H. Müller: Algorithmische Lineare Algebra, Vieweg (1997)

A. Beutelspacher: Lineare Algebra (2001)

H-J. Kowalsky/G.O, Michler: Lineare Algebra, de Gruyter (2003)

-- WolfgangMenzel -- 24 Sep 2003